Question

20．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，直角∠MAN的两边AM，AN重叠在正方形的两邻边上，现将直角∠MAN绕顶点A逆时针旋转α度（0＜α＜90）．

（1）如图2，在旋转过程中，将正方形的中心O到AM、AN的距离分别记为x、y，则下列各式的值是确定的有④（填序号）
①x+y  ②|x-y|③xy  ④x²+y²
（2）①如图3，当0＜α＜45时，AM、AN与BC、CD的延长线分别相交于点E、F，求证：BE=DF；
②如图4，当45＜α＜90时，AM、AN与BC、CD的延长线分别相交于点E、F，AM与CD相交于点P，求△APF与△CPE面积的差．
（3）①如图5，当0＜α＜45时，AM、AN与直线BD分别相交于点G、H，求证：$\frac{BG}{DH}$=$\frac{AG}{AH}$；
②如图6，当45＜α＜90时，AM、AN的反向延长线与直线BD分别相交于点G，①中的结论还成立吗？请直接作出判断，不用说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理和正方形的性质得出x²+y²=2即可；
（2）①利用全等三角形的判定和性质证明△ABE与△ADF全等，即可得到BE=DF；
②利用①的结论和三角形面积的关系进行证明即可；
（3）①将△ABG绕点A逆时针旋转90°至△ADQ，证明△QDH与△GAH相似，进而证明即可；
②利用①中结论得出即可．

解答 解：（1）在图中作出正方形的中心O到AM、AN的距离分别记为x、y，如图1：

在Rt△AOH中，OA²=x²+y²，
即可得：${x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}=2$，
故答案为：④；
（2）①∵∠BAE=90°-∠DAM=∠DAF，
∴在△ABE与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
②同①可证：BE=DF，连接AC，如图2：

S_△APF-S_△CPE=S_△ACF-S_△ACE=$\frac{1}{2}$CF•AD-$\frac{1}{2}$CE•AB=CF-CE=CD+DF-（BE-BC）=CD+BC=4；
（3）①将△ABG绕点A逆时针旋转90°至△ADQ，如图3：

∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45°，
∴∠QDH=90°=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴$\frac{QD}{DH}=\frac{AG}{AH}$，
∵BG=QD，
∴$\frac{BG}{DH}=\frac{AG}{AH}$；
②当45＜α＜90时，AM、AN的反向延长线与直线BD分别相交于点G，H，①中的结论还成立，理由如下：
将△ABH绕点A逆时针旋转90°至△ADQ，如图4：

∵AB=AD，
∴∠ABG=∠ADQ=45°，
∴∠QDH=90°=∠GAH，
∴△QDH∽△GAH，
∴$\frac{QD}{DH}=\frac{AG}{AH}$，
∵BG=QD，
∴$\frac{BG}{DH}=\frac{AG}{AH}$．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质进行分析解答．