Question

12．已知：如图，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，AE、CF分别与BD相交于点G、H，联结AH、CG．
求证：四边形AGCH是平行四边形．

Answer 1

分析 法1：由平行四边形对边平行，且CF与AD垂直，得到CF与BC垂直，根据AE与BC垂直，得到AE与CF平行，得到一对内错角相等，利用等角的补角相等得到∠AGB=∠DHC，根据AB与CD平行，得到一对内错角相等，再由AB=CD，利用AAS得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到AG=CH，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
法2：连接AC，与BD交于点O，利用平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，再由AB与CD平行，得到一对内错角相等，根据CF与AD垂直，AE与BC垂直，得一对直角相等，利用ASA得到三角形ABG与三角形CDH全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=DH，根据等式的性质得到OG=OH，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证．

解答 证明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，
∵CF⊥AD，
∴CF⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥CF，即AG∥CH，
∴∠AGH=∠CHG，
∵∠AGB=180°-∠AGH，∠DHC=180°-∠CHG，
∴∠AGB=∠DHC，
∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDH，
∴△ABG≌CDH，
∴AG=CH，
∴四边形AGCH是平行四边形；
法2：连接AC，与BD相交于点O，

在□ABCD中，AO=CO，BO=DO，∠ABE=∠CDF，AB∥CD，
∴∠ABG=∠CDH，
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠BAG=∠DCH，
∴△ABG≌CDH，
∴BG=DH，
∴BO-BG=DO-DH，
∴OG=OH，
∴四边形AGCH是平行四边形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．