Question

4．已知方程ax²+2bx+c=0，其中实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．
（1）试求$\frac{c}{a}$的取值范围；
（2）求证：方程ax²+2bx+c=0有两个不相等的实根，且均小于2．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可得b=-（a+c），a＞-（a+c）＞c，两边同时除以a即可求解；
（2）先求得方程ax²+2bx+c=0根的判别式为4[（a+$\frac{1}{2}$c）²+$\frac{3}{4}$c²]，根据非负数的性质和已知条件可得△＞0，先令x₁＞x₂，通过证明x₁＜2即可求解．

解答 （1）解：a＞b＞c，a+b+c=0，
b=-（a+c），
a＞-（a+c）＞c，
-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）证明：△=（2b）²-4ac
=4b²-4ac=4（a+c）²-4ac
=4（a²+c²+ac）
=4[（a+$\frac{1}{2}$c）²+$\frac{3}{4}$c²]≥0，
且a≠c≠0，
∴△＞0，
∴有两个不相等的实根，
解方程ax²+2bx+c=0得x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$，
令x₁＞x₂，
x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-ac}}{a}$=$\frac{a+c+\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}}{a}$=1+$\frac{c}{a}$+$\sqrt{1+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{c}{a}}$，
∵-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴x₁=1+$\frac{c}{a}$+$\sqrt{（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$＜2，
∴方程ax²+2bx+c=0有两个不相等的实根，且均小于2．

点评 考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．