Question

　　如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．

(1)     求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)     过点B作直线与x轴交于点D，且OB²=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；

(3)     抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（6，0），B（0，6）             ……………………1分

连结OC,由于∠AOB=90^o，C为AB的中点，则，

所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．

又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）    ……………………2分

抛物线过点O，所以c=0,

又抛物线过点A、C，所以，解得：

所以抛物线解析式为   　 　…………………3分

（2）OA=OB=6代入OB²=OA·OD，得OD=6   　 ……………………4分

   所以OD=OB=OA，∠DBA=90^o．       　  ……………………5分

   又点B在圆上，故DB为⊙C的切线     　 ……………………6分

（通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90^o,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90^o或 ∠COP=90^o,              ……………………7分

若∠CAP=90^o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．

又AP过点A（6，0），则b=－6,              ……………………8分

方程y=x－6与联立解得：，，  

 故点P₁坐标为（－3，－9）                    ……………………9分

     若∠COP=90^o,则OP∥AC，同理可求得点P₂（9，－9）

      (用抛物线的对称性求出亦可)

     故存在点P₁坐标为（－3，－9）和P₂（9，－9）满足题意．…………10分