Question

19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=3，AD=$\sqrt{3}$，∠C=60°，点M、N分别在射线BA、射线CB上，且∠MDN=60°．
（1）连接BD，求证BD⊥BC；
（2）当点N在线段BC上时，设BM=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结MN，MN=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，求CN的长．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ABD=30°，由AB∥CD，推出∠CDB=∠ABD=30°，由∠C=90°，推出∠DBC=90°即可．
（2）于△DAM∽△DBN，推出$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AM}{BN}$=$\frac{DM}{DN}$，可以推出$\frac{AM}{BN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，由此即可解决问题．
（3）由（2）可知DN=2DM，取DN的中点K，连接MK，首先证明△DMK是等边三角形，推出△DMN是直角三角形，于DM=MN•tan30°=$\frac{\sqrt{39}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
再根据勾股定理求出AM即可解决问题．

解答 解：（1）∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠ADC=180°-∠A=90°，
∵AB=3，AD=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∴∠CDB=∠ABD=30°，
∵∠C=60°，
∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=90°，
∴BD⊥CB．

（2）∵∠ADB=∠MDN=60°，
∴∠ADM=∠BDN，
∵∠A=∠DBN=90°，
∴△DAM∽△DBN，
∴$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AM}{BN}$=$\frac{DM}{DN}$
∵BD=2AD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，
∴BN=2AM，
∴2-y=2（3-x），
∴y=2x-4，（2≤x≤3）．

（3）由（2）可知DN=2DM，取DN的中点K，连接MK．
∵DM=DK，∠MDK=60°，
∴△DMK是等边三角形，
∴KM=DK=KN，
∴△DMN是直角三角形，
∴∠DNM=30°，
∵MN=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∴DM=MN•tan30°=$\frac{\sqrt{39}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴AM=$\sqrt{D{M}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴BN=2AM=1，
∴CN=BC-BN=2-1=1．

点评 本题考查四边形综合题、直角梯形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形是突破口，属于中考压轴题．