Question

4．先观察下列各式，再完成题后问题：
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$-$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$
（1）①写出：$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$
②请你猜想：$\frac{1}{2010×2012}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2012}$）或$\frac{1}{4020}$-$\frac{1}{4024}$
（2）求$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$的值；
（3）运用以上方法思考：求$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{40}$+$\frac{1}{60}$+$\frac{1}{84}$+$\frac{1}{112}$+$\frac{1}{144}$+$\frac{1}{180}$的值．

Answer 1

分析 （1）①直接利用已知将原式分成两分数的差即可；
②直接利用已知得出原式=两连续两偶数差的一半；
（2）利用已知中规律将原式化简求出答案；
（3）首先提取$\frac{1}{2}$，进而利用已知规律化简求出答案．

解答 解：（1）①$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；
故答案为：$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；           

②$\frac{1}{2010×2012}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{1005×1006}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1005}$-$\frac{1}{1006}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2012}$）或$\frac{1}{4020}$-$\frac{1}{4024}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2012}$）或$\frac{1}{4020}$-$\frac{1}{4024}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$；

（3）$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{40}$+$\frac{1}{60}$+$\frac{1}{84}$+$\frac{1}{112}$+$\frac{1}{144}$+$\frac{1}{180}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{10}$）
=$\frac{9}{20}$．

点评 此题主要考查了数字变化规律，正确将已知分数化简变形是解题关键．