Question

20．同学们，我们在《有理数》中学过：数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|．一般地，|a-b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离．
（1）|x-1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离；
（2）数轴上是否存在数x，使|x-1|+2|x-2|+|x-4|的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由；
（3）若|x-1|+2|x-2|的值为8，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由|a-b|表示数轴上数a的点与数b的点的距离可知|x-1|表示数轴上表示x的点与数1的点的距离；
（2）当x=2时，|x-1|+2|x-2|+|x-4|可转化为数轴上表示2的点到1和4的距离之和；
（3）可分为x≤1，1＜x≤2，x＞2三种情况进行化简计算．

解答 解：（1）|x-1|表示数轴表示数x的点与表示数1的点的距离；
故答案为：数轴表示数x的点与表示数1的点的距离．
（2）当x=2时，|x-1|+2|x-2|+|x-4|可转化为数轴上表示2的点到1和4的距离之和，
∴当x=2时，|x-1|+2|x-2|+|x-4|的最小值为3；
（3）当x≤1时，1-x+2（2-x）=8．
解得：x=-1．
当1＜x≤2时，x-1+2（2-x）=8，
解得：x=-5（不合题意）．
当x＞2时，x-1+2（x-2）=8，
解得：x=$\frac{13}{3}$．
综上所述，x的值为-1或$\frac{13}{3}$

点评 本题主要考查的是绝对值、数轴、解含绝对值的方程，分类讨论是解题的关键．