Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求∠A的度数；
（3）在（2）的条件下，求图形中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据圆周角定理以及中位线定理和平行线的性质得出DO⊥DE即可得出；
（2）根据DO∥AE，得出△FOD∽△FAE，即可得出

FO

FA

=

DO

AE

，进而求出FC的长得出cosA=

AE

AF

的值，即可得出∠A的度数；
（3）首先得出OM是△ABC的中位线以及四边形ODBM是平行四边形，进而得出∠COM的度数和S_△DOF以及S_扇形COM和平行四边形ODBM的面积，即可得出阴影部分的面积．

解答：（1）证明：连接AD、OD，
∵AC是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点，
又∵O是AC的中点，
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DO⊥DE，
又∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知DO∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

FO

FA

=

DO

AE

，
∴

FC+OC

FC+AC

=

DO

AB-BE

，
∴

FC+2

FC+4

=

2

4-1

，
解得：FC=2，
∴AF=6，
∴cosA=

AE

AF

=

AB-BE

AF

=

4-1

6

=

1

2

，
∴∠A=60°；

（3）解：连接OM，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，OF=OC+CF=2+2=4，
同理可得：OM是△ABC的中位线，
∴四边形ODBM是平行四边形，
∴∠FOD=60°，∠MOD=60°，
∴∠COM=120°，
∴DF=

1

2

OF•sin60°=

3

2

×4=2

3

，
S_△DOF=

1

2

DO•OF=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
DB=

1

2

BC=

1

2

AC=2，
DE=DB•sin60°=2×

3

2

=

3

，
S_扇形COM=

120

360

π•2²=

4

3

π，
平行四边形ODBM的面积=DO•DE=2×

3

=2

3

，
S_阴影=2

3

+2

3

-

120

360

π•2²=4

3

-

4

3

π．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系、中位线定理扇形面积公式等知识，得出四边形ODBM是平行四边形是解题关键．