Question

12．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以$\sqrt{3}$cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动，设点P运动的时间为ts．
（1）点P由A点运动到C点需要2秒；
（2）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（3）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在运动过程中，⊙P与边BC有2个公共点时t的取值范围？

Answer 1

分析 （1）求出AC的长即可解决问题．
（2）只要证明△PAQ∽△CAB，推出∠APQ=∠ACB，即可证明．
（3）当⊙P与边BC 相切与点M时，连接PM，则PM⊥BC，想办法求出此时t的值，再求出⊙P经过点B时的t的值，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意AC=$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2s，
故答案为2．

（2）证明：连接BD交AC于点O．

∵四边形ABCD是菱形，且边长为2cm，∠DAB=60°，
∴AB=BC=2，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
∵AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，∵AB=2，AP=$\sqrt{3}$t，AQ=t，
∴$\frac{\sqrt{3}t}{2\sqrt{3}}$=$\frac{t}{2}$．即$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB，
∴PQ∥BC．

（3）当⊙P与边BC 相切与点M时，连接PM，则PM⊥BC，

在Rt△CPM中，
∵∠PCM=30°，
∴PM=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，又PM=PQ=AQ=t，
即$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=t，
∴t=4$\sqrt{3}$-6，
当⊙P过点B时，PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°，
∴△PQB为等边三角形，
∴QB=PQ=AQ=t，
∴t=1．
综上，若使⊙P与边BC有2个公共点，则4$\sqrt{3}$-6＜t≤1．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．