Question

8．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线AC=BD时，四边形ABCD的中点四边形为菱形形；
②当对角线AC⊥BD时，四边形ABCD的中点四边形是矩形形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知∠B=∠C=60°，且BC=AB+CD，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．

Answer 1

分析 （1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明△ABC≌△DMB，得到AC=DB，根据（1）①证明即可．

解答 解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
（2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：
分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，
∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴△BCM是等边三角形，
∴MB=BC=CM，∠M=60°，
∵BC=AB+CD，
∴MA+AB=AB+CD=CD+DM
∴MA=CD，DM=AB，
在△ABC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DM}\\{∠ABC=∠M}\\{BC=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DMB，
∴AC=DB，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．

点评 本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键．