Question

16．如图1，在平面直角坐标系中，直线l平行于y轴，交反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）的图象于点A，交x轴于点C．
（1）用含m的式子表示△OAC的面积．
（2）如图2，若反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n＞0）的图象交直线l于点B，点P是y轴上任意一点．
①用含m，n的式子表示△PAB的面积；
②若点A的坐标为（2，2），且点B为AC的中点，求△PAB的周长最小时，直线AP对应的函数解析式及△PAB的周长．

Answer 1

分析 （1）首先设点A（a，b），则ab=m，继而可求得△OAC的面积；
（2）①首先连接OA，OB，由（1）可得S_△OAC=$\frac{1}{2}$m，S_△OBC=$\frac{1}{2}$n，继而可得S_△PAB=S_△OAB=S_△OAC-S_△OBC；
②首先作点B关于y轴的对称点B′，作直线AB′交于y轴于点D，可得当点P于点D重合时，△PAB的周长最小，由点A的坐标为（2，2），且点B为AC的中点，可求得点B与点B′的坐标，继而可求得直线对应的函数解析式；然后由勾股定理求得AB′的长，继而可得△PAB的周长=AB′+AB．

解答 解：（1）设点A（a，b），则ab=m，
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$m；

（2）①如答图1，连接OA，OB，
则S_△OAC=$\frac{1}{2}$m，S_△OBC=$\frac{1}{2}$n，
∴S_△PAB=S_△OAB=S_△OAC-S_△OBC=$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{2}$（m-n）；

②如答图2，作点B关于y轴的对称点B′，作直线AB′交于y轴于点D，当点P于点D重合时，△PAB的周长最小，
∵点A的坐标为（2，2），且点B为AC的中点，
∴点B的坐标为：（2，1），点B′的坐标为：（-2，1），
设直线AP对应的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AP对应的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
∵AB=2-1=1，BB′=2-（-2）=4，
∴在Rt△ABB′中，AB′=$\sqrt{A{B}^{2}+BB{′}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴△PAB的周长为：PA+PB+AB=PA+PB′+AB=AB′+AB=$\sqrt{17}$+1．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数k的几何意义、待定系数法求函数的解析式以及最短路径问题．注意掌握辅助线的作法．