Question

5．如图，每个小方格的边长都为1．
（1）求四边形ABCD的周长．
（2）连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可分别求得AB、BC、CD和AD的长，则可求得四边形ABCD的周长；
（2）可求得AC的长，结合（1）中所求得AD、CD的长，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD为直角三角形．

解答 解：
（1）由勾股定理可得：
AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+3$\sqrt{5}$；
（2）△ACD为直角三角形，理由如下：
由题意可知AC=5，又由（1）可知AD=$\sqrt{5}$，CD=2$\sqrt{5}$，
∴AD²+CD²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=25=AC²，
∴△ACD为直角三角形．

点评 本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理求边长及由三边之间的平方关系判定直角三角形是解题的关键．