Question

9．如图，Rt△ABC的直角顶点P落在第三象限内，顶点A，B分别落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象的两支上，且PA⊥x轴于点D，PB⊥y轴于点C，AB分别与x轴、y轴相交于点F、E，已知B（3，-1）．
（1）k=-3；
（2）求证：AF=BE；
（3）当四边形ABCD的面积为$\frac{21}{4}$时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由k的值确定出反比例解析式，设出A坐标，根据AP与x轴垂直，PB与y轴垂直，表示出D，C，P坐标，进而表示出PA，PB，PD以及PA的长，得到两对对应边成比例且夹角相等，确定出三角形DCP与三角形APB相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对同位角相等，确定出DC与AB平行，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DCBF与四边形ADCE都为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AE=BF，利用等式的性质即可得证；
（3）四边形ABCD面积=三角形APB面积-三角形PCD面积，根据已知四边形ABCD面积列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出P的坐标．

解答 解：（1）把B（3，-1）代入反比例函数解析式得：-1=$\frac{k}{3}$，即k=-3；
故答案为：-3；
（2）由（1）得反比例解析式为y=-$\frac{3}{x}$，
设A（a，-$\frac{3}{a}$），
∵PA⊥x轴于点D，PB⊥y轴于点C，
∴D的坐标为（a，0），P的坐标为（a，-1），C的坐标为（0，-1），
∴PA=-a，PB=3-a，PD=1，PA=-$\frac{3}{a}$+1，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{-a}{3-a}$=$\frac{a}{a-3}$，$\frac{PD}{PA}$=$\frac{1}{-\frac{3}{a}+1}$=$\frac{a}{a-3}$，即$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PD}{PA}$，
∵∠CPD=∠BPA，
∴△PCD∽△PBA，
∴∠PCD=∠PBA，
∴CD∥BA，
∵BC∥FD，AD∥EC，
∴四边形BCDF和四边形ADCE都为平行四边形，
∴BF=CD，AE=DC，
∴BF=AE，
∴AE+EF=BF+EF，即AF=BE；
（3）由（2）得：P（a，-1），
∵S_{四边形ABCD}=S_△PAB-S_△PCD，
∴$\frac{1}{2}$PA•PB-$\frac{1}{2}$PC•PD=$\frac{21}{4}$，即$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{3}{a}$）•（3-a）-$\frac{1}{2}$•（-a）•1=$\frac{21}{4}$，
解得：a=-2，
则P的坐标为（-2，-1）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形面积，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．