题目内容
已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系 ，
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系 ，
请写出你的猜想，并选以上3种中的一种情况说明理由．
（1）若点P在一边BC上（图1），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系
（2）若当点P在△ABC内（图2），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系
（3）若点P在△ABC外（图3），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的关系
请写出你的猜想，并选以上3种中的一种情况说明理由．
考点：等边三角形的性质
专题：
分析：把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
解答：解：
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴
BC•AM=
AB•PD+
AC•PF
即
BC•h=
AB•h1+
AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴
BC•AM=
AB•PD+
AC•PF+
BC•PE
即
BC•h=
AB•h1+
AC•h2+
BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2-h3．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即
BC•AM=
AB•PD+
AC•PE-
BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2-h3．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．
点评：此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，AB，CD交于点O，且OC=45，OD=30，OB=36，当OA=
用代数式表示图中阴影部分面积（弧为⊙O的半径为4cm，点P和圆心的距离为8cm，则过P点的⊙O的两条切线的夹角是（ ）
| A、30° | B、60° |
| C、90° | D、120° |
如图，已知AB=2的线段在线段MN上左右平移，MN=5，以A为中心顺时针旋转针M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点，构成△ABC，设AM=x．
如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高为下面四个方程中，与方程x-1=2的解相同的一个是（ ）
| A、2x=6 |
| B、x+2=-1 |
| C、2x+1=3 |
| D、-3x=9 |
在△ABC中，∠ACB=90°，D、E在AB上，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的度数为