题目内容

20．如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′（3，5）、C′（5，-2）；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）；
（3）已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线L上画出点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，求QD+QE的最小值．

分析 （1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出B′、C′两点坐标；
（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；
（3）由轴对称性作出满足条件的Q点，求出直线D′E的解析式，与直线y=x联立，可求Q点的坐标，得出结论．

解答 解：（1）如图，由点关于直线y=x轴对称可知：B'（3，5），C'（5，-2）．
故答案为：（3，5），（5，-2）；

（2）由（1）的结果可知，
坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （b，a）．
故答案为：（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D'的坐标为（-3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，D'E=$\sqrt{D′{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴QD+QE的最小值为：$\sqrt{29}$．

点评 本题主要考查了最短路径问题和轴对称的性质，利用轴对称解决最短路径问题是解答此题的关键．

练习册系列答案
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11．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+2x+$\frac{5}{2}$经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．
12．在等腰△ABC中，两条边长分别为3和4，则等腰△ABC的周长等于10或11；等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为40°，40°．
9．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3，4，5B．1，2，$\sqrt{3}$C．5，12，13D．6，8，12
16．等腰三角形的一个内角∠A=100°，则∠B=40°．
4．若x，y为实数，且满足|x-3|+$\sqrt{y+3}$=0，则（$\frac{x}{y}$）2015的值是（　　）
A．-1B．1C．2D．3
11．下列说法中正确的个数有（　　）
（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 
（2）画一条直线的垂线段可以画无数条．
（3）在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，由∠1=∠2可得出（　　）
A．AD∥BCB．AB∥CDC．∠3=∠4D．AD∥BC或AB∥CD
8．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（　　）
A．180°B．360°C．540°D．720°

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