Question

11．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC
（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：BE=CF；
（3）若AB=a，AC=b，则BE=$\frac{a-b}{2}$，AE=$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）作线段BC 的垂直平分线与AD的交点即为所求．
（2）只要证明△PEB≌△PFC即可．
（3）只要证明△PAE≌△PAF，推出AE=AF，设BE=CF=x，则有a-x=b+x，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）①作线段BC的垂直平分线交AD于P．
点P就是所求的点．


（2）连接PB、PC．
∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF，
在Rt△PEB和Rt△PFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PEB≌△PFC，
∴BE=CF．

（3）设BE=CF=x，
在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PAF，
∴AE=AF，
∴AB-BE=AC+CF，
∴a-x=b+x，
∴x=$\frac{a-b}{2}$，
∴BE=$\frac{a-b}{2}$，AE=AB-BE=a-$\frac{a-b}{2}$=$\frac{a+b}{2}$，
故答案为$\frac{a-b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$．

点评 本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质．角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会把问题转化为方程去解决，属于中考常考题型．