Question

6．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于点M（0，-4）和N（0，-10），以P为顶点的抛物线经过点M，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 如图，连接PM，作PE⊥MN于E．首先利用勾股定理求出点P坐标，利用顶点式设抛物线的解析式，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接PM，作PE⊥MN于E．

∵点M（0，-4）和N（0，-10），
∴OM=4，ON=10，MN=6，
∵PE⊥MN，
∴EM=EN=3，
在Rt△PME中，∵PM=5，EM=3，∠PEM=90°，
∴PE=$\sqrt{P{M}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴点P坐标（-4，-7），
设P为顶点的抛物线的解析式为y=a（x+4）²-7，把（0，-4）代入得到a=$\frac{3}{16}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{16}$（x+4）²-7．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、二次函数、待定系数法、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，记住抛物线的三种形式，属于中考常考题型．