Question

14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M为AC的中点，过点M作MN∥AD交CD于点 N，连接BM，BN．
（1）求证：BM=MN； 
（2）若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求△BNM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据中位线的推论可知：N是CD的中点，则MN是△ACD的中位线，得MN=$\frac{1}{2}$AD，再根据直角三角形斜边上的中线得：BM=$\frac{1}{2}$AC，根据等量代换得BM=MN；
（2）分别求出∠BMC=∠ABM+∠BAC=60°和∠CMN=∠CAD=30°，则∠BMN=90°，△BNM是直角三角形，根据AC=2求出两直角边都是1，从而求出面积．

解答 证明：（1）∵M为AC的中点，MN∥AD，
∴N是CD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠ABC=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=AD，
∴BM=MN；
（2）∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
∵AM=BM，
∴∠ABM=∠BAC=30°，
∴∠BMC=∠ABM+∠BAC=60°，
∵MN∥AD，
∴∠CMN=∠CAD=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°，
由（1）得：BM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，且BM=MN=1，
∴S_△BNM=$\frac{1}{2}$BM•MN=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了中位线的性质和判定，熟练掌握经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边，以及三角形的中位线定理，同时与直角三角形斜边中线相结合，得出边相等；在求三角形面积时，可以证明此三角形为特殊的三角形：直角三角形或等边三角形；如果不是特殊三角形才考虑作高，利用面积公式代入求出面积；有时也会考虑利用面积的和差来求解．