题目内容
19．【提出问题】如图①，已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m于D，CE⊥直线m于E，求证：DE=BD+CE．
【思路分析】
由已知得：∠BAD+∠CAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，所以∠BAD=∠ACE．
又因为AB=AC，∠BDA=∠AEC，所以△BDA≌△AEC（AAS），所以BD=AE，AD=CE．
所以DE=AD+AE=BD+CE．
【类比探究】
（1）如图②将上述条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，上述结论还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图③，D、E是直线m上的两栋点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
分析 （1）类比思路与分析的证明方法证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
解答 解：（1）成立．
理由：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）△DEF是等边三角形．
由（1）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FA}\\{∠FBD=∠FAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握判定三角形全等的方法“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”是解决问题的前提；也考查了等边三角形的判定与性质．
如图是10×10的网格中，每个方格的边长均为1，刘亮在该网格中标出A，B两点的相对位置，已知点A的位置用（6，2）表示，点B的位置用（9，5）表示．
如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C．若CE=3，则图中由线段BD，BE和弧DE围成的阴影部分的面积是（ ）| A． | $\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$ | B． | $\frac{3}{2}π$ | C． | $\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$ | D． | $\frac{8}{3}π$ |
如图，△OCA≌△OBD，则这两个三角形中相等的边有AC=BD，OC=OB，OA=OD，相等的角有∠A=∠D，∠C=∠B，∠AOC=∠DOB．