如图.抛物线y=a(x-1)2+k过坐标原点.顶点为B.交x轴于另一点A.且△OAB为等腰直角三角形．(1)求抛物线的解析式,(2)若M为y轴负半轴上一点.过点M分别作直线MC.MD.且MC.MD都与抛物线有且只有一个公共点.点C.D均在抛物线上．①探究:若M点的坐标为.求N点的坐标,②猜想:当M点在y轴负半轴上运动时.线段OM与ON相等吗?试取M(0.-t2)证明你的结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图，抛物线y=a（x-1）²+k过坐标原点，顶点为B，交x轴于另一点A，且△OAB为等腰直角三角形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为y轴负半轴上一点，过点M分别作直线MC，MD，且MC，MD都与抛物线有且只有一个公共点，点C，D均在抛物线上．
①探究：若M点的坐标为（0，-1），求N点的坐标；
②猜想：当M点在y轴负半轴上运动时，线段OM与ON相等吗？试取M（0，-t²）证明你的结论．

分析（1）由题意可知B（1，-1），A（2，0），利用待定系数法即可解决问题．
（2）①设过点M的直线的解析式为y=kx-1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+1=0，根据△=0时求得k=-4或0，再求出C、D两点坐标即可解决问题．
②结论：OM=ON．设M（0，-t²），过点M的直线的解析式为y=kx-t²，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+t²=0，由题意△=0时，（2+k）²-4t²=0，
解得k=2t-2或-2t-2，再求出C、D两点坐标，根据对称性即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=a（x-1）²+k过坐标原点，顶点为B，交x轴于另一点A，且△OAB为等腰直角三角形，
∴对称轴x=1，A（2，0），B（1，-1），
∴k=-1，
∴抛物线的解析式为y=a（x-1）²-1，把A（2，0）代入得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x．

（2）①设过点M的直线的解析式为y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，消去y得到x²-（2+k）x+1=0，
由题意△=0时，（2+k）²-4=0，解得k=-4或0，
k=-4时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x-1}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（-1，3），
k=0时，直线DM∥x轴，D（1，-1），
∵C（-1，3），D（1，-1），
∴点N是线段CD的中点，N（0，1）．

②结论：OM=ON．
理由：设M（0，-t²），过点M的直线的解析式为y=kx-t²，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$消去y得到x²-（2+k）x+t²=0，
由题意△=0时，（2+k）²-4t²=0，
解得k=2t-2或-2t-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y={t}^{2}-2t}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（-2t-2）x-{t}^{2}}\\{y={x}^{2}-2x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y={t}^{2}+2t}\end{array}\right.$，
不妨设C（t，t²-2t），D（-t，t²+2t），
∵C、D两点的横坐标互为相反数，
∴NC=ND，
∴N（0，t²），
∴OM=ON=t²，
∴OM=ON．