Question

16．如图，将矩形ABCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，AB=2，直线MN：y=x-4沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形ABCD的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．
（1）点A的坐标为（1，0），矩形ABCD的面积为8；
（2）求a，b的值；
（3）在平移过程中，求直线MN扫过矩形ABCD的面积S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标，由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得AD的长，据此可求得ABCD的面积；
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得BE的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F，求得直线MN与x轴交点F的坐标从而可求得b的值；
（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点；当3≤t＜5时，如图3所示S=△EFA的面积；当5≤t＜7时，如图4所示：S=S_BEFG+S_ABG；当7≤t≤9时，如图5所示．S=S_ABCD-S_CEF．

解答 解：（1）令直线y=x-4的y=0得：x-4=0，解得：x=4，
∴点M的坐标为（4，0）．
由函数图象可知：当t=3时，直线MN经过点A，
∴点A的坐标为（1，0）
沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形ABCD相交于点A，
∵y=x-4沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：y=x+3-4=x-1，
∴点A的坐标为 （1，0）；
由函数图象可知：当t=7时，直线MN经过点D，
∴点D的坐标为（-3，0）．
∴AD=4．
∴矩形ABCD的面积=AB•AD=4×2=8．
（2）如图1所示；当直线MN经过点B时，直线MN交DA于点E．

∵点A的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（1，2）
设直线MN的解析式为y=x+c，
将点B的坐标代入得；1+c=2．
∴c=1．
∴直线MN的解析式为y=x+1．
将y=0代入得：x+1=0，解得x=-1，
∴点E的坐标为（-1，0）．
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴a=2$\sqrt{2}$
如图2所示，当直线MN经过点C时，直线MN交x轴于点F．

∵点D的坐标为（-3，0），
∴点C的坐标为（-3，2）．
设MN的解析式为y=x+d，将（-3，2）代入得：-3+d=2，解得d=5．
∴直线MN的解析式为y=x+5．
将y=0代入得x+5=0，解得x=-5．
∴点F的坐标为（-5，0）．
∴b=4-（-5）=9．
（3）当0≤t＜3时，直线MN与矩形没有交点．
∴s=0．
当3≤t＜5时，如图3所示；

S=${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}AE•AF$=$\frac{1}{2}（t-3）^{2}$=$\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}$；
当5≤t＜7时，如图4所示：过点B作BG∥MN．

由（2）可知点G的坐标为（-1，0）．
∴FG=t-5．
∴S=S_BEFG+S_ABG=2（t-5）+$\frac{1}{2}×2×2$=2t-8．
当7≤t≤9时，如图5所示．

FD=t-7，CF=2-DF=2-（t-7）=9-t．
S=S_ABCD-S_CEF=8-$\frac{1}{2}（9-t）^{2}$=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+9t-\frac{65}{2}$．
综上所述，S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{0（0≤t＜3）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}（3≤t＜5）}\\{2t-8（5≤t＜7）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+9t-\frac{65}{2}（7≤t≤9）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握矩形的性质、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、三角形、平行四边形、矩形的面积公式，根据题意分类画出图形是解题的关键．