题目内容

20．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动是，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论．
（2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变．

分析 （1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形．只要证明△DPF≌△DQC，推出DP=DQ，DF=DC，即可解决问题．
（2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE=EF，根据DF=FC，即可解决问题．

解答 解：（1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形．

理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB=∠B，∠DPF=∠DQC，
∴PB=PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPF=∠DQC}\\{∠PDF=∠QDC}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DPF≌△DQC，
∴DP=DQ，DF=DC，
∴四边形PFQC是平行四边形．

（2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F，

∵△PBF为等腰三角形，
∴PB=PF，
∵PE⊥BF
∴BE=EF，
由（1）可知FD=DC，
∴ED=EF+FD=$\frac{1}{2}$BF+$\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（BF+FC）=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴ED为定值，

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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