Question

4．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax²+bx+0.9．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为1.85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；
（3）如果一群身高在1.4米到1.7米之间的人站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶，请结合图象，写出t的取值范围1＜t＜5．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）利用配方法求出y的值最大值，与1.85比较即可解决问题．
（3）实质上就是求y=1.4时，对应的x的两个值，就是t的取值范围．

解答 解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入y=ax²+bx+0.9
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+0.9=1.4}\\{36a+6b+0.9=0.9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.1}\\{b=0.6}\end{array}\right.$，
∴所求的抛物线的解析式是
y=-0.1x²+0.6x+0.9；

（2）∵y=-0.1x²+0.6x+0.9=-0.1（x-3）²+1.8，
∵a=-0.1＜0，
∴x=3时，y有最大值为1.8，
∵1.85＞1.8，
∴绳子不能顺利从他头顶越过．

（3）当y=1.4时，-0.1x²+0.6x+0.9=1.4，
解得x₁=1，x₂=5，
∴1＜t＜5．
故答案为1＜t＜5．

点评 本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．