题目内容

2．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；
（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

分析 （1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；
（2）分A′B=BC、A′B=A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；
（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．

解答 解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4cm，
当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形APA′D为平行四边形，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△APD∽△ABC，
∵AP=5x，
∴A′P=AD=4x，PC=4-5x，
∵∠A′PD=∠ADP，
∴A′P∥AB，
∴△A′PC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{A′P}{AB}$，即$\frac{4-5x}{4}$=$\frac{4x}{5}$，
解得：x=$\frac{20}{41}$，
∴当点A′落在边BC上时，x=$\frac{20}{41}$；
（2）当A′B=BC时，（5-8x）2+（3x）2=32，
解得：$x=\frac{{40±12\sqrt{3}}}{73}$．
∵x≤$\frac{4}{5}$，
∴$x=\frac{{40-12\sqrt{3}}}{73}$；
当A′B=A′C时，x=$\frac{5}{8}$．
（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，
∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，
∴x=$\frac{5}{14}$，
∴A′B′=QE-PD=x=$\frac{5}{14}$；
Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，
∴B′E=5x，DE=5-7x，
∴cosB=$\frac{5x}{5-7x}=\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{46}$，
∴A′B′=B′D-A′D=$\frac{25}{23}$；
Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，
由（1）有，x=$\frac{20}{41}$，
∴A′B′=PA′sinA=$\frac{12}{41}$；
当A′B′⊥AB时，x=$\frac{5}{14}$，A′B′=$\frac{5}{14}$；
当A′B′⊥BC时，x=$\frac{15}{46}$，A′B′=$\frac{25}{23}$；
当A′B′⊥AC时，x=$\frac{20}{41}$，A′B′=$\frac{12}{41}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数的意义，分类讨论，解本题的关键是要分类要分准，难点是分类．

练习册系列答案
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