Question

（2013•白云区一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，-1），且b=-4ac．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点B的坐标（0，-1）代入抛物线解析式，再由b=-4ac，可得出点A的坐标；
（2）把点A的坐标（-2，0）代入抛物线解析式，再将b=4a代入可求出b的值，继而可得出抛物线的解析式；
（3）设符合题意的点C坐标为（x，y），证明Rt△AOB∽Rt△CDA，得出x的值，继而得出点C的坐标，根据直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处，即可求出点P的坐标，

解答：解：（1）把B（0，-1）代入y=ax²+bx+c中，得c=-1，
由b=-4ac，得b=4a．
∵A为抛物线的顶点，
∴其横坐标为x=-

b

2a

=-2，即点A的坐标为A（-2，0）；

（2）把点A的坐标（-2，0）代入抛物线解析式中，可得4a-2b-1=0，
把b=4a代入上式，得a=-

1

4

，
则b=-1，
故抛物线的解析式为：y=-

1

4

x2-x-1；

（3）点C存在．
设符合题意的点C坐标为（x，y），如图1，
方法一：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°，
∴Rt△AOB∽Rt△CDA，
∴可得

AO

CD

=

OB

AD

，从而OB•CD=AO•AD，
∴1•（-y）=2•|x-（-2）|，-y=2|x+2|，
-y=2[-（x+2）]，得y=2x+4，
又∵y=-

1

4

x2-x-1，
∴-

1

4

x2-x-1=2x+4，
整理得：x²+12x+20=0，
解得x₁=-10，x₂=-2，
从而得y₁=-16，y₂=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
方法二：过点C作CD⊥x轴于点D，
连结AB、AC，过点B作BE⊥CD于点E，
则E点坐标为E（x，-1），
在Rt△AOB中，AB²=AO²+BO²=5，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=（x+2）²+y²，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²=x²+（y+1）²，
在Rt△ABC中，BC²=AB²+AC²，
故可得：x²+（y+1）²=5+（x+2）²+y²，
化简整理得y=2x+4，
又y=-

1

4

x2-x-1，故-

1

4

x2-x-1=2x+4，
整理得：x²+12x+20=0，解得x₁=-10，x₂=-2；
从而得y₁=-16，y₂=0．
即点C的坐标为（-10，-16）或（-2，0）；
∵P为圆心，
∴P为直径BC的中点．
当点C坐标为（-10，-16）时，
取OD的中点P₁，则P₁的坐标为（-5，0）；
连结PP₁，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，交PP₁为于点F，如图2，
则四边形BODE为矩形，
点E的坐标为E（-10，-1），F点的坐标为F（-5，-1），
∵PF为△BCE的中位线，
∴PF=

1

2

CE=

1

2

|-16-（-1）|=

15

2

，
∴PP₁=PF+FP₁=

17

2

，
∴P（-5，-

17

2

）；
当点C坐标为（-2，0）时，点C与点A重合，
取OA的中点P₂，则P₂的坐标为（-1，0），
连结PP₂，则PP₂为△OAB的中位线，
∴PP₂=

1

2

OB=

1

2

，
∴P（-1，-

1

2

），
故点P的坐标为（-5，-

17

2

）或（-1，-

1

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，三角形的中位线定理及三角形的外接圆，注意直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点处，难度较大．