Question

2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，求点A到CD所在直线的距离．

Answer 1

分析 （1）已知点C在⊙O上，先连接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根据三角形内角和定理得∠DCO=90°即能判断直线CD与⊙O的位置关系．
（2）要求点A到CD所在直线的距离，先作作AE⊥CD，垂足为E，由∠CDA=30°，得AE=$\frac{1}{2}$AD，在直角三角形OCD中，半径OD=6，所以OD=2OC=12，AD=OA+0D=18．从而求出AE．

解答 解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．

（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=12，
AD=AO+OD=6+12=18，
在Rt△ADE中，
∵∠EDA=30°，
∴点A到CD边的距离为：AE=$\frac{AD}{2}$=9．

点评 此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质，三角形内角和定理．