Question

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC延长线上．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=3，∠B=30°，求∠D的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，如图，由0A=OB得到∠2=∠B，根据圆周角定理，由BC是⊙O的直径得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，则∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根据切线的判定定理可得到AD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\sqrt{3}$，然后证明△ACD为等腰三角形即可得到CD的长．

解答 （1）证明：连接OA，如图，
∵OA=OB，
∴∠2=∠B，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠2=∠CAD，
∴∠CAD+∠1=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°-∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，
∴∠D=30°，
∴CD=CA=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．