Question

16．已知AD是等边△ABC的高，F为AC边上的一个动点（不与A、C重合），BF与AD相交于点E，连接CE．
（1）求证：BE=CE；
（2）当△AEF是以AE或AF为腰的等腰三角形时，求∠ECD的度数；
（3）作∠FEG=120°，交AB于点G，猜想EF、EG的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出AD是BC的垂直平分线，即可得出结论；
（2）先判断出等腰三角形AEF的腰，再用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）先判断出，∠AFE=BGE，进而构造出全等三角形，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AD是等边△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
（2）∵AD是等边△ABC的高，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴△AEF为等腰三角形，
∴腰为AE或AF，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=75°，
∵∠ACB=60°，
∴∠CBF=∠AFE-∠ACB=75°-60°=15°，
∵BE=CE，
∴∠ECD=∠CBF=15°，
故答案为AE或AF
（3）EF=EG，
理由：∵∠BAC=60°，∠FEG=120°，
∴∠BAC+∠FEG=180°，
∴∠AGE+∠AFE=180°，
∴∠AFE=BGE，
过点E作EN⊥AB，EM⊥AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴EN=EM；
在△ENG和△EMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGN=∠EFM}\\{∠ENG=∠EMF=90°}\\{EN=EM}\end{array}\right.$，
∴△ENG≌△EMF，
∴EG=EF

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，解本题的关键是掌握等边三角形的性质，是一道比较简单的中考常考题．