Question

16．已知：正方形ABCD中，M、N分别是BC、AP的中点，问△PQM的形状并说明理由．

Answer 1

分析 ②△QPM的形状是等腰三角形，在CM上取一点E，使CE=BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC=∠AEB，再证明MN∥AE，得到∠NMP=∠AEB，通过等量代换得到∠DPC=∠NMP，根据等角对等边得到QM=QP，即可解答

解答 解：结论：△QPM的形状是等腰三角形，
理由：在CM上取一点E，使CE=BP，连接AE，

∵PB=CE，
∴PB+PE=CE+PE，即BE=CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
在△DCP和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}\\{∠DCP=∠ABE}\\{CP=BE}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△ABE，
∴∠DPC=∠AEB，
∵M为BC的中点，
∴MB=MC，
∴MB-BP=MC-CE，即MP=ME，
∴M为PE的中点，
∵N为AP的中点，
∴MN∥AE，
∴∠NMP=∠AEB，
∴∠DPC=∠NMP，
∴QM=QP，
∴△QPM是等腰三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质定理与判定定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线．