Question

5．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=12cm，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CA方向向点A运动，同时点Q从点B出发，以1.5cm/s的速度沿BC方向向点C运动，当点Q到达终点时，点P也随之停止运动，过点Q作QM⊥BC，交AB于点M，以线段MQ为直角边在MQ的左侧作等腰直角△MQN，以线段CP为一边在△ABC内部作正方形PDEC，设运动时间为t（s），△MQN与正方形PDEC重叠部分的面积为S（cm²）．
（1）当点P在MN上时，t=$\frac{24}{7}$s，当点D在MQ上时，t=$\frac{24}{5}$s；
（2）当$\frac{8}{3}$≤t≤8时，求S与t之间的函数关系；
（3）若点F、G分别是MQ、MN的中点，请直接写出在整个运动过程中，线段FG扫过的图形面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，P在MN上，先表示两动点的路程：PC=t，BQ=1.5t，证明△MQB∽△ACB，列比例式可表示MQ=3t，根据NQ=3t列方程可求得t的值；
如图2，点D在MQ上，根据CE=CQ列式求得t的值；
（2）分四种情况：
①当N与C重合时，如图3，此时t=$\frac{8}{3}$s，△MQN与正方形PDEC重叠部分△CDE，根据面积公式求得S；
②当$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$时，如图4，△MQN与正方形PDEC重叠部分是五边形GHCED，根据S=S_{正方形PCED}-S_△PGH可得结论；
③当$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$时，如图5，△MQN与正方形PDEC重叠部分是正方形PCED；
④当$\frac{24}{5}$＜t≤8时，如图6，△MQN与正方形PDEC重叠部分是矩形PCQG；
（3）线段FG扫过的图形面积是△BFG的面积，分别求GF和FC的长，代入面积公式计算即可．

解答 解：（1）当P在MN上时，如图1，
由题意得：PC=t，BQ=1.5t，
∵△MQN是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ，∠NQM=90°，∠MNQ=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠NQM=180°，
∴AC∥MQ，
∴△MQB∽△ACB，
∴$\frac{MQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{MQ}{24}=\frac{1.5t}{12}$，
∴MQ=3t，
∴NQ=MQ=3t，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴NC=PC=t，
∴NC+CQ=NQ，
t+12-1.5t=3t，
t=$\frac{24}{7}$，
即当点P在MN上时，t=$\frac{24}{7}$s；
当点D在MQ上时，如图2，此时Q与E重合，
由题意得：CE=PC=t，CQ=12-1.5t，
∴t=12-1.5t，
t=$\frac{24}{5}$，
即当点D在MQ上时，t=$\frac{24}{5}$s；
故答案为：$\frac{24}{7}$；$\frac{24}{5}$；
（2）①当N与C重合时，如图3，
∵四边形PCDE是正方形，
∴∠DCE=45°，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠MNQ=45°，
∴此时D在CM上，
则CQ+BQ=BC，
3t+1.5t=12，
9t=24，
t=$\frac{8}{3}$；
此时，△MQN与正方形PDEC重叠部分是△CDE，
S=S_△CDE=$\frac{1}{2}$CE•ED=$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$（\frac{8}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$；
②当$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$时，如图4，△MQN与正方形PDEC重叠部分是五边形GHCED，
此时，CQ=12-1.5t，NC=3t+1.5t-12=4.5t-12，
∵∠MNQ=45°，
∴△NCH是等腰直角三角形，
∴NC=HC=4.5t-12，
∴PH=PG=t-（4.5t-12）=12-3.5t，
∴S=S_{正方形PCED}-S_△PGH=t²-$\frac{1}{2}$（12-3.5t）²=-$\frac{41}{8}{t}^{2}$+42t-72；
③当$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$时，如图5，△MQN与正方形PDEC重叠部分是正方形PCED，
此时S=$\frac{1}{2}{t}^{2}$；
④当$\frac{24}{5}$＜t≤8时，如图6，△MQN与正方形PDEC重叠部分是矩形PCQG，
CQ=12-1.5t，
∴S=S_矩形PCQE=PC•CQ=t（12-1.5t）=-1.5t²+12t；
综上所述，当$\frac{8}{3}$≤t≤8时，S与t之间的函数关系是：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{9}（t=\frac{8}{3}）}\\{-\frac{41}{8}{t}^{2}+42t-72（\frac{8}{3}＜t＜\frac{24}{7}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}（\frac{24}{7}≤t≤\frac{24}{5}）}\\{-1.5{t}^{2}+12t（\frac{24}{5}＜t≤8）}\end{array}\right.$；
（3）如图7，在整个运动过程中，线段FG扫过的图形面积是图中阴影部分的面积，即△BFG的面积，
此时Q与C重合，
∴NC=AC=24，
∵点F、G分别是MQ、MN的中点，
∴GF是△ANC的中位线，
∴GF∥NC，GF=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AC=12，
FC=$\frac{1}{2}$AC=12，
∴S_△BFG=$\frac{1}{2}$GF•FC=$\frac{1}{2}$×12×12=72；
则线段FG扫过的图形面积是72cm²．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、动点运动问题、三角形相似的性质和判定，还有重叠部分面积问题，有难度，尤其是第二问，要利用数形结合的思想，注意重叠部分图形的不同，并与函数相结合，解决问题．