Question

解答题 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 如图，⊙O是以Rt△ABC的直角边AC 为直径的圆，与斜边AB相交于点D，过D作DH⊥AC，垂足为H，又过D点作直线交BC于E，使∠HDE=2∠A 求证： (1) DE是⊙O的切线； (2) OE是Rt△ABC的中位线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：连结OD，则OD是⊙O的半径． 　　∵　∠HDE=2∠A，∠DOH=2∠A，∴　∠HDE=∠HOD． 　　∵　DH⊥AC，∴　∠DOH+∠ODH=90° ， 　　∴　∠HDE+∠ODH=90° ，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．
(2)	证明：∵　DE是⊙O的切线， 　　∴　∠ODE=90° ，又OC=OD，OE=OE， 　　∴　△ODE≌△OCE，∴　∠COE=∠DOE． 　　又∵　∠COD=2∠A，∴　∠COE=∠A， 　　∴　OE∥AB，又AO=OC， 　　∴　OE是Rt△ABC的中位线．