Question

9．先阅读下列材料，然后解答题后的问题．
材料一：从A，B，C三人中选择取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作C${\;}_{3}^{2}$=$\frac{3×2}{2×1}$=3．
一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作C${\;}_{m}^{n}$=$\frac{m（m-1）（m-2）…（m-n+1）}{n（n-1）（n-2）…3×2×1}$．
问题一：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有5种．
材料二：观察一列数：3，6，12，24，48，96．不难发现从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第二项起每一项与它前一项的比值等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
问题二：
（1）等比数列5，-15，45…的第4项是-135．
（2）如果一列数a₁，a₂，a₃，a₄…是等比数列，且公比为q，那么根据规定，有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=q，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=q，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=q…，
所以a₂=a₁q，a₃=a₂q=（a₁q）q=a₁q²，a₄=a₃q=（a₁q²）q=a₁q³…
a_n=a₁q^n-1（用a₁和q的代数式表示）
（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，直接写出它的第1项与第4项．

Answer 1

分析 问题一：直接根据题中给出的C${\;}_{m}^{n}$=$\frac{m（m-1）（m-2）…（m-n+1）}{n（n-1）（n-2）…3×2×1}$进行计算即可；
问题二：（1）先求出等比数列的公比，进而可得出结论；
（2）根据题意直接找出规律即可；
（3）先求出公比q的值，再由（2）中的规律即可得出结论．

解答 解：问题一：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法=C₆⁴=$\frac{5×4×3×2}{4×3×2×1}$=5（种）．
故答案为：5；

问题二：
（1）∵数列5，-15，45…是等比数列，
∴公比=$\frac{-15}{5}$=-3，
∴第四项=（-3）×45=-135．
故答案为：-135；

（2）∵a₂=a₁q，a₃=a₂q=（a₁q）q=a₁q²，a₄=a₃q=（a₁q²）q=a₁q³…，
∴a_n=a₁q^n-1．
故答案为：a₁q^n-1；

（3）∵等比数列的第2项是10，第3项是20，
∴q=$\frac{20}{10}$=2，
∴10=a₁×2，解得a₁=5；
∴a₄=20×2=40．

点评 本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．