Question

已知关于x的一元二次方程x²+bx+c=x有两个实数根x₁，x₂，且满足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）试证明：c＞0；
（2）证明：b²＞2（b+2c）．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系

专题：证明题

分析：（1）利用根与系数的关系，来可以求出c和两根之和、两根之积的关系式，然后利用已知条件就可以证明题目结论；
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，把它们代入（x₂-x₁）²可得出b²-2b-4c+1，然后再利用（x₂-x₁）²＞1求出b²-2b-4c＞0即可证明．

解答：解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x²+（b-1）x+c=0，
∵x₁，x₂是该方程的两个实数根
∴x₁+x₂=-（b-1），x₁•x₂=c，
而x₁＞0，x₂＞x₁+1＞0，
∴c＞0；

（2）（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=（b-1）²-4c
=b²-2b-4c+1，
∵x₂-x₁＞1，
∴（x₂-x₁）²＞1，
于是b²-2b-4c+1＞1，即b²-2b-4c＞0，
∴b²＞2（b+2c）．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．