如图.反比例函数y=$\frac{24}{x}$的图象经过矩形OABC的顶点B.点P从原点O出发沿线段OC向点C运动.点R从点B出发沿线段BA向点A运动.点P.R速度均为每秒1个单位.点Q从O出发沿折线OA→AB向点B运动.点S从点B出发沿折线BC→CO向点O运动.点Q.S速度均为每秒2个单位.设P.Q.R.S四点同时出发.运动时间为t秒(1)求出OA.OC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，反比例函数y=$\frac{24}{x}$（x＞0）的图象经过矩形OABC的顶点B（m+2，m），点P从原点O出发沿线段OC向点C运动，点R从点B出发沿线段BA向点A运动，点P、R速度均为每秒1个单位，点Q从O出发沿折线OA→AB向点B运动，点S从点B出发沿折线BC→CO向点O运动，点Q、S速度均为每秒2个单位，设P、Q、R、S四点同时出发，运动时间为t秒（0＜t≤5）
（1）求出OA、OC的长；
（2）当0＜t＜2时，求证：四边形PQRS是平行四边形；
（3）当t为何值时，四边形PQRS是菱形，当t为何值时，四边形PQRS是矩形．

分析（1）根据待定系数法，可得关于m的方程，根据解方程，可得B点坐标，根据矩形的性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得PQ与RS的关系，QR与PS的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
（3）分类讨论：0＜t＜2，2≤t＜5时，根据有一组邻边相等的平行四边形，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
根据矩形的判定，可得可得OP=AQ，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，得
m=$\frac{24}{m+2}$．
化简，得m²+2m-24=0，
解得m=4，m=-6（不符合题意舍），
m+2=6，即B（6，4）．
由矩形OABC，得OC=AB=6，
OA=BC=4；
（2）证明：∵矩形OABC，
∴∠O=∠A=∠B=∠C=90°．
∵OP=BR=t，OQ=BS=2t，
在Rt△OPQ和Rt△BRS中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=BR}\\{∠O=∠B}\\{OQ=BS}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPQ≌Rt△BRS（SAS），
∴PQ=RS；
同理RQ=PS，
∴四边形PQRS是平行四边形；
（3）当0＜t＜2时，
如图1，
∵OP=BR=t，OQ=2t，
∴AR=6-t，AQ=4-2t．
四边形PQRS是平行四边形，
PQ=RS时，四边形PQRS是菱形，
即t²+（2t）²=（4-2t）²+（6-t）²，
解得t=$\frac{13}{7}$；
当2＜t＜5时，如图2，
PD=t-（2t-4），QD=4，PS=6-t-（2t-4），
由勾股定理，得
PQ²=（4-t）²+4²，
当PS=PQ时，即PS²=PQ²时，四边形PQRS是菱形，
（4-t）²+4²=（10-3t）²．
解得t=$\frac{13+\sqrt{33}}{4}$，t=$\frac{13-\sqrt{33}}{4}$＜2（不符合题意，舍），
综上所述：当t=$\frac{13}{7}$，t=$\frac{13+\sqrt{33}}{4}$时，四边形PQRS是菱形；
当2＜t＜5时，如图3，
，
由点P从原点O出发沿线段OC向点C运动，点P速度均为每秒1个单位，点Q从O出发沿折线OA→AB向点B运动，点Q速度均为每秒2个单位，得
OP=t，OA+AQ=2t．
由PQRS为矩形，得
OP=AQ即t=2t-4．
解得t=4，
当t=4时，四边形PQRS是矩形．