Question

如图，AB是圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，过点B作圆O的切线交CD于E，己知∠CDB=∠CAD，AB=CD=2，
（1）△CDB∽△CAD吗？请说明理由；
（2）求CB的长；
（3）求CE的长（选作不计入总分）．

Answer 1

分析：（!）由∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△CDB∽△CAD；
（2）由△CDB∽△CAD，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程4=x（x+2），解此方程即可求得答案；
（3）首先连接OD，易证得△OCD∽△ECB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．

解答：解：（1）△CDB∽△CAD．
理由：∵∠CDB=∠CAD，∠C是公共角，
∴△CDB∽△CAD；

（2）设BC=x，
∵AB=CD=2，
∴CA=x+2，
∵△CDB∽△CAD，
∴CD：CA=CB：AD，
即CD²=CB•CA，
∴4=x（x+2），
解得：x=-1±

5

（负值不合题意，舍去），
∴BC=-1+

5

．

（3）连接OD，
∵BE是⊙O的切线，CD切圆O于D，
∴OB⊥BE，OD⊥CD，
∴∠CBE=∠CDO=90°，
∵∠C是公共角，
∴△OCD∽△ECB，
∴

CE

OC

=

BC

CD

，
∴CE=

OC•BC

CD

=

(1-1+ 5 )×(-1+ 5 )

2

=

5- 5

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．