Question

抛物线y=ax²-4ax+c交x轴于A、B两点，已知A（1，0），抛物线经过点N（4，-3），交y轴于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，将线段AP沿AC的垂直平分线翻折后对应线段CM落在y轴上，求P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据待定系数法，可得直线AC的解析式，根据线段垂直平分线的性质，可得线段垂直平分线的解析式，根据关于对称轴对称的线段相等，对应点的中点在线段的垂直平分线上，可的方程组，根据解方程组，可得答案．

解答：解：（1）抛物线y=ax²-4ax+c经过点N（4，-3），A（1，0），得

a-4a+c=0 16a-16a+c=-3

，解得

a=-1 c=-3

，
此抛物线的解析式是y=-x²+4x-3；
（2）设P（x，-x²+4x-3），M（0，b），点PM的中点是（

x

2

，

-x2+4x-3+b

2

），
当x=0时，y=-3，
∴C点坐标是（0，-3），
∴AC的中点是（

1

2

，-

3

2

），
CA的解析式是y=3x-3，
AC的垂直平分线的解析式是y=-

1

3

x-

4

3

，
AP与CM关于y=-

1

3

x-

4

3

对称，
PM的中点在y=-

1

3

x-

4

3

上，AP=CM，得

-x2+4x-3+b 2 =- 1 6 x- 4 3 ① (x-1)2+(-x2+4x-3)2=(-3-b)2②

，
由①得b=x²-

13

3

x+

1

3

  ③，
把③代入②得
（x-1）²+（-x²+4x-3）²=（-x²+

13

3

x-

10

3

）²
（x-1）²[1+（x-3）²-（x-

10

3

）²]=0
解得x₁=1（不符合题意的要舍去）x₂=

5

3

，y=-（

5

3

）²+4×

5

3

-3=

2

3

，
P点坐标是（

5

3

，

2

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求解析式，成轴对称的图形两个图形中对应线段相等，对应点的中点在对称轴上．