Question

9．二次函数y=ax²+bx+c的图象是过点A（-1，-$\frac{5}{2}$），B（0，-4），C（4，0）的一条抛物线．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）求这条抛物线的顶点D的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；
（3）x为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值等于多少？
（4）x在什么范围内，y随着x的增大而增大？
（5）求四边形OBDC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）利用配方法将抛物线关系式由一般式边形为顶点式，由此即可得出点D的坐标以及对称轴方程，再根据抛物线的对称轴找出抛物线经过的几点坐标，描点连线画出函数图象；
（3）由a=$\frac{1}{2}$＞0，结合抛物线的关系式（顶点式）即可解决问题；
（4）由a=$\frac{1}{2}$＞0，结合抛物线图象即可解决问题；
（5）将四边形OBDC分割成梯形OBDE和三角形CDE，再根据梯形和三角形的面积公式，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（-1，-$\frac{5}{2}$）、B（0，-4）、C（4，0）代入y=ax²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-\frac{5}{2}}\\{c=-4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴这个二次函数的关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-4=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∴这条抛物线的顶点D的坐标为（1，-$\frac{9}{2}$），对称轴为x=1．
∵抛物线过点（0，-4）、（4，0），
∴抛物线过点（2，-4）、（-2，0）．
描点、连线画出函数图象，如图所示．
（3）∵a=$\frac{1}{2}$，且y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∴当x=1时，函数有最小值，最小值为-$\frac{9}{2}$．
（4）∵a=$\frac{1}{2}$，且抛物线对称轴为x=1，
∴当x≥1时，y随着x的增大而增大．
（5）令抛物线对称轴与x轴交点为E，则点E的坐标为（1，0），
∵O（0，0），B（0，-4），D（1，-$\frac{9}{2}$），C（4，0），
∴OB=4，OE=1，DE=$\frac{9}{2}$，CE=3．
∴S_{四边形OBCD}=S_梯形OBDE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OE+$\frac{1}{2}$DE•CE=$\frac{1}{2}$×（4+$\frac{9}{2}$）×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3=11．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象、二次函数的性质、二次函数最值、梯形以及三角形面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式；（2）将抛物线关系式由一般式改写成顶点式；（3）根据二次函数的性质解决最值问题；（4）结合函数图象解决单调性问题；（5）利用分割图形法求出四边形面积．