Question

8．已知二次函数y=mx²-4mx+3m（m≠0）与x轴相交于A、B（A在B的左侧）两点，与y轴相交于点C，顶点为M，对称轴与x轴相交于点N．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）是否存在m值，使得△OAC与△AMN相似，若存在，求出m值，若不存在，说明理由；
（3）证明：AM∥CB．

Answer 1

分析 （1）解方程即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论；
（3）求得直线AM的解析式为y=-mx+m，直线BC的解析式为y=-mx+2m，根据直线的斜率相等，于是得到结论．

解答 解：（1）令y=0，则mx²-4mx+3m=0，
∴x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0）；
（2）存在，
理由：由题意得，∠AOC=∠MNA=90°，
∵y=mx²-4mx+3m=m（x²-4x+3）=m（x-2）²-m，
∴M（2，-m），C（0，3m），N（2，0），
∴OA=1，AN=1，MN=|-m|，OC=|3m|，
①当△AOC∽△ANM时，即$\frac{AO}{AN}=\frac{OC}{NM}$，∴$\frac{1}{1}$=$\frac{|-m|}{|3m|}$，
此方程无解，
②当△AOC∽△MNA时，即$\frac{AO}{MN}=\frac{OC}{NA}$，∴$\frac{1}{|-m|}=\frac{|3m|}{1}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴存在m值，使得△OAC与△AMN相似；
（3）设直线AM的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-m=2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=m}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为y=-mx+m，
设直线BC的解析式为y=ax+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+c}\\{3m=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-m}\\{c=3m}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-mx+2m，
∴两直线的斜率相等，
∴AM∥CB．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的性质，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．