Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若△ADF的面积为

1

8

，试求|BE-DF|的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等；

（2）在Rt△ADF中，利用勾股定理和三角形的面积，变形为完全平方公式解决问题．

解答：（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠1+∠2=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠2=∠3，∠1=∠4
在△ADF和△BAE中

∠1=∠4 AD=AB ∠2=∠3

∴△ADF≌△BAE（ASA）．

（2）∵△ADF≌△BAE．
∴AF=BE
在Rt△ADF中，
DF²+AF²=AD²

1

2

DF×AF=

1

8

，
即2DF×AF=

1

2

∴DF²+AF²-2DF•AF=1-

1

2

（DF-AF）²=

1

2

|DF-AF|=

2

2

∵AF=BE
∴|DF-BE|=

2

2

即|BE-DF|=

2

2

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形的面积计算公式，以及完全平方公式的运用，灵活运用已知条件解决问题．