Question

8．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE=5，CE=4，则AB的长是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{41}}}{2}$
• B． 5
• C． $\sqrt{29}$
• D． 3

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，易证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形，则可求得BC的长，继而求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=90°，
∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AB=AE，CD=DE，
∴AD=BC=2AB，
∵BE=5，CE=4，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{41}}{2}$；
故选：A．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形是关键．