Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=∠A，∠ACB=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图①），易证S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S_△DEF，S_△CEF，S_△ABC又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 如图②连接CD，证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；如图③，同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五边形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：连接CD，如图②所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠FDB}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
如图③，不成立，S△DEF-S△CEF=$\frac{1}{2}$S△ABC；
理由如下：连接CD，如图3所示：
同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°，
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．