Question

17．△ABC是等边三角形，点E为射线AN上任意一点（点E与点A不重合），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，直线DB交直线AN于点F．

（1）如图1，若∠NAC=90°，猜想∠DFA=120°；
（2）如图2，若∠NAC是锐角时，其它条件不变，请你求出∠DFA的度数；
（3）如图3，若∠NAC=135°，∠ACE=15°，且AC=6，请求出BD的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠DCB=∠ACE，进而判断出△CDB≌△CEA（SAS）即：∠CDB=∠CEA最后用三角形的内角和即可得出∠DFE=∠DCE=60°即可
（2）同（1）的方法即可；
（3）同（2）方法得出△CDB≌△CEA（SAS）即可得出DB=AE，再判断出△ACH为等腰直角三角形，即可求出AH=CH=3$\sqrt{2}$，再在Rt△CEH中求出HE最后用求出AE即可．

解答 解：（1）∠FDA=120°；
证明：
由旋转知，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE
∵DC=CE，且∠DCE=60°，
在△CDB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=CE}\\{∠DCB=∠ECA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CDB≌△CEA（SAS）
∴∠CDB=∠CEA，
∵∠EMF=∠CMD，
∴∠DFE=∠DCE=60°．
∴∠DFA=120°，
故答案为：120°；
（2）
由旋转知，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠DCB=∠ACE
∵DC=CE，且∠DCE=60°，
在△CDB和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=CE}\\{∠DCB=∠ECA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△CDB≌△CEA（SAS）
∴∠CDB=∠CEA，
∵∠EMF=∠CMD，
∴∠DFE=∠DCE=60°．
∴∠DFA=120°
（3）如图3，

过点C作CH⊥AN交NA的延长线于H，
同（2）的方法得出△CDB≌△CEA（SAS），
∴DB=AE，
∵∠NAC=135°，
∴∠CAH=45°
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
∵∠ACE=15°，
∴∠ECH=∠ACH+∠ACE=60°，
∴HE=$\sqrt{3}$CH=3$\sqrt{6}$，
∴AE=HE-AH=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．