Question

14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=8，BC=4，E是BD的中点，AE=CE．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）若F是AC的中点，AC=10，求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AE的长，在等腰△BEC中，作底边上的高，利用勾股定理求得高，则△BEC的面积即可求解，然后根据△BDC和△BEC同高，即可求得△BDC的面积，然后求得△ABD的面积，则四边形的面积可求解；
（2）根据三线合一定理证明EF是△AEC的高线，利用勾股定理求得EF的长，然后利用三角形的面积公式求解．

解答 解：（1）在直角△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
又∵E是BE的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD=8$\sqrt{2}$，则CE=AE=BE=4$\sqrt{2}$．
作EM⊥BC于点M．则CM=BM=$\frac{1}{2}$BC=2，在直角△EMC中，ME=$\sqrt{C{E}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•ME=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{7}$=4$\sqrt{7}$，
又∵E是BD的中点，
∴S_△BCD=2S_△BCE=8$\sqrt{7}$．
又∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×8×8=32．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=32+8$\sqrt{7}$；
（2）∵AE=EC，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，E是BD的中点，
∴在直角△CEF中，EF=$\sqrt{E{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
则S_△AEC=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×10×$\sqrt{7}$=5$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，正确求得△BEC的面积是关键．