Question

12．如图，在?ABCD中，点E是DC的中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE和△CEF的面积相等；
（2）若AB=2AD，试说明AF恰好是∠BAD的平分线．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAE=∠F，然后再证明△AED≌△FEC可得结论；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，根据全等三角形的性质可得AD=CF，然后再证明AB=BF，进而可得∠BAF=∠F，再由∠DAE=∠F，可得∠BAF=∠DAE，进而可得AF恰好是∠BAD的平分线．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
∵点E是DC的中点，
∴CE=DE，
在△AED和△FEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠F}\\{∠AED=∠CEF}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴△ADE和△CEF的面积相等；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵△AED≌△FEC，
∴AD=CF，
∴AD=BC=CF，
∵AB=2AD，
∴AB=2BC=BF，
∴∠BAF=∠F，
又∵∠DAE=∠F，
∴∠BAF=∠DAE，
即AF是∠BAD的平分线．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等，对边平行．