Question

5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=$\frac{1}{3}$AB=2，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：①EF=2BE；②△APE≌△QEB；③FQ=3EQ；④S_BFPE=8$\sqrt{3}$，其中正确的结论是①②③（只填序号）．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得出BE=PE，∠BEF=∠FPE，EF⊥BP，△EBF的面积=△EPF的面积，再逐个判断即可．

解答 解：∵AE=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴AB=3×2=6，BE=6-2=4，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴BE=PE=4，
即AE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，∠A=90°，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=60°，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴∠BEF=∠FPE=$\frac{1}{2}$×（180°-60°）=60°，∠ABC=∠EPF=90°，
∠PFE=∠EFB=180°-90°-60°=30°，
∴EF=2BE，∴①正确；
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴EF⊥BP，
∴∠EQB=90°
在△APE和△QEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BEQ=60°}\\{∠A=∠EQB=90°}\\{PE=BE}\end{array}\right.$
∴△APE≌△QEB，∴②正确；
∵∠EBF=∠EQB=∠BQF=90°，∠BFE=30°，
∴∠FBQ=90°-30°=60°，∠EBQ=90°-60°=30°，
∴BE=2QE，EF=2BE，
∴EF=4QE，
∴FQ=3EQ，∴③正确；
∵BE=4，∠EBF=90°，∠EFB=30°，
∴BF=$\sqrt{3}$BE=4$\sqrt{3}$，
∴△BEF的面积为$\frac{1}{2}×BE×BF$=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴△FPE的面积为8$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形BFPE}=16$\sqrt{3}$，∴④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．