Question

19．如图，等腰直角△ABC中，F为斜边AB的中点，D为AC上一点，连接BD，作CE⊥BD，垂足为E，连接AE，EF，若∠AEF=90°，求证：EF²=DE•CE．

Answer 1

分析 从所要证明的结论形式上看，需要借助相似三角形来解决问，注意到F是AB中点，于是连接FC，先证△AEB∽△FEC，可得$EF=\frac{CE•AE}{BE}$，再证△ADE∽△BFE，得到$EF=\frac{DE•EB}{AE}$，两式相乘即是结论．

解答 证明：如图，连接FC，

∵△ACB是等腰直角三角形，F为斜边AB中点，
∴CF⊥AB，CF=AF=BF，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=∠CFB=90°，
∴C、E、F、B四点共圆，
∴∠ECF=∠EBA，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB=∠FEC，
∴△AEB∽△FEC，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{EF}{AE}$，
∴$EF=\frac{CE•AE}{BE}$，①
∵C、E、F、B四点共圆，
∴∠FEB=∠FCB=45°，
∴∠AED=180°-90°-45°=45°，
∵∠CAE+∠CFE=∠CFA+∠CAF-∠EFA-∠EAF=45°，
∠CFE+∠EBF=∠CBE+∠EBF=45°，
∴∠DAE=∠EBF，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{EF}$，
∴$EF=\frac{DE•EB}{AE}$，②
①×②得：EF²=DE•CE

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、四点共圆的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，有一定难度．推导图中的角度关系，从而相似三角形的判定提供条件是本题的关键也是难点．