Question

5．若$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，对任意自然数n都成立，
（1）求a，b的值；
（2）试根据（1）的变式，计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{19×21}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$=$\frac{2（a+b）n+a-b}{（2n-1）（2n+1）}$结合$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$对任意自然数n都成立得出$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，解之可得；
（2）利用（1）中的结论可得，原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$），进一步计算可得．

解答 解：（1）$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$=$\frac{a（2n+1）+b（2n-1）}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{2（a+b）n+a-b}{（2n-1）（2n+1）}$，
∵$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$对任意自然数n都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；

（2）由（1）知，$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{19×21}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{20}{21}$
=$\frac{10}{21}$．

点评 本题主要考查分式的化简、解方程组的能力及数字的变化规律，将分式变形由等式对任意自然数n都成立得出关于a、b的方程组及利用已得结论裂项求解是解题的关键．