Question

（1）如图1，边长为1的正三角形ABC，曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正三角形的渐开线”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圆心依次按B、C、A、B、C…循环，由题意可求得：曲线AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为

 

；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的长度为

 

．
（2）如图2，边长为1的正四边形ABCD，曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正四边形的渐开线”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圆心依次按B、C、D、A、B…循环，由题意可求得：曲线AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为

 

；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的长度为

 

．
（3）如图3，边长为1的正五边形ABCDE，曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正五边形的渐开线”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圆心依次按B、C、D、E、A…循环，由题意可求得：曲线AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为

 

；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的长度为

 

．
（4）由以上结论猜想：边长为1的正m边形，曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…叫做“正m边形的渐开线”，其中，AP₁、P₁P₂、P₂P₃、P₃P₄、P₄P₅…的圆心依次按B、C、D、E、F…循环，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的长度为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,弧长的计算

专题：

分析：（1）利用正三角形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．
（2）利用正方形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．
（3）利用正五边形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．
（4）利用正n边形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．

解答：解：（1）AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为 AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

120π

180

×1+

120π

180

×2+

120π

180

×3+

120π

180

×4+

120π

180

×5=10π；
如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n的长度为

120π

180

×1+

120π

180

×2+

120π

180

×3+…+

120π

180

×n=

2π

3

•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

3

π．
（2）“正四边形的渐开线”曲线AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

90π

180

×1+

90π

180

×2+

90π

180

×3+

90π

180

×4+

90π

180

×5=

15

2

π；
如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

90π

180

×1+

90π

180

×2+

90π

180

×3+…+

90π

180

×n=

1

2

π•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

4

π，
（3））“正五边形的渐开线”曲线AP₁P₂P₃P₄P₅的长度为AP₁+P₁P₂+P₂P₃+P₃P₄+P₄P₅=

72π

180

×1+

72π

180

×2+

72π

180

×3+

72π

180

×4+

72π

180

×5=6π；
如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

72π

180

×1+

72π

180

×2+

72π

180

×3+…

72π

180

×n=

2

5

π•（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

5

π，
（4）“正m边形的渐开线”，AP₁P₂P₃P₄P₅…P_n=

360

180m

π×1+

360

180m

π×2+

360

180m

π×3+…+

360

180m

π×n=

360

180m

π×（1+2+…+n）=

n(n+1)

m

π．
故答案为：10π，

n(n+1)

3

π，

15

2

π，

n(n+1)

4

π，6π，

n(n+1)

5

π，

n(n+1)

m

π．

点评：本题主要考查了圆的综合题及弧长的计算，解题的关键是明白n边形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．