题目内容
10．将平行四边形ABCD置于平面直角坐标系中，使得边A点与坐标原点重合，AB在x轴正半轴上，AB=8，AD=4，∠BAD=60°，动点P以1个单位每秒的速度从D点出发沿DC方向运动，设运动时间为t，过P点作PQ垂直x轴，垂足为Q（当Q点与B点重合时，P点停止运动），PQ与BD交于点H，点A、D关于PQ的对称点分别为点E、F，点G为射线EF与射线DB的交点．
（1）如图1，当点G在线段BD上时，求证：△HGE∽△ABD；
（2）t为何值时，△GHF是等腰三角形；
（3）P点运动过程中，设四边形EFQH与ABCD的重合部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量取值范围．
分析 （1）如图1中，取AB中点M，连接DM．首先证明∠ADB=90°，再证明∴∠HEG=∠ADB=90°，∠EHG=60°即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①如图2中，当GH=GF时，设GF=HG=a，列出方程求出a．②如图3中，当FH=DG时，设FH=GF=a，列出方程求出a．
（3）分三种情形讨论①0≤t≤2，如图4中，重叠部分是四边形EFQH，②2＜t≤4，如图5中，重叠部分是五边形EMBQH，③4＜t≤6，如图6中，重叠部分是四边形MBQH，
解答 解：（1）如图1中，取AB中点M，连接DM．
∵AB=8，AM=BM，
∴BM=AM=AD=4，∵∠DAM=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠DMA=60°，DM=AM=BM=4，
∴∠MDB=∠MBD=30°，
∴∠ADB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∵点A、D关于PQ的对称点分别为点E、F，
∴∠HDE=∠HED=30°，∠HDA=∠HEG=90°，
∴∠EHG=∠HDE+∠HED=60°，
∴∠EHG=∠BAD，∠HEG=∠ADB=90°，
∴△△HGE∽△ABD．
（2）①如图2中，当GH=GF时，设GF=HG=a，则HE=$\frac{1}{2}$a，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PH=$\frac{1}{4}$a，DP=PE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
∵EF=AD=4，
∴a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=4，
∴a=8（2-$\sqrt{3}$），
∴DP=4$\sqrt{3}$-6，
∴t=4$\sqrt{3}$-6．
②如图3中，当FH=DG时，设FH=GF=a，则EF=$\frac{1}{2}$a，HE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DP=PE=$\frac{3}{4}$a，
∴$\frac{1}{2}$a=4，
∴a=8，
∴DP=6，此时t=6，
综上所述，t=4$\sqrt{3}$-6或6时，△HFG是等腰三角形．
（3）①0≤t≤2，如图4中，重叠部分是四边形EFQH，
S=S梯形EFQP-S△PHE=$\frac{1}{2}$•（t+2+t）•4-$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=$-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{t^2}+2\sqrt{3}t+2\sqrt{3}$．
②2＜t≤4，如图5中，重叠部分是五边形EMBQH，
S=S梯形EFQP-S△PHE-S△MBF=$-\frac{{7\sqrt{3}}}{6}{t^2}+6\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$．
③4＜t≤6，如图6中，重叠部分是四边形MBQH，
S=S梯形PCBQ-（S△PHE-S△CEM）=$\frac{1}{2}$•（8-t+8-t-2）•4-（$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\frac{1}{2}$•（2t-8）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-8）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{6}{t^2}-10\sqrt{3}t+30\sqrt{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+2\sqrt{3}t+2\sqrt{3}}&{（0≤t≤2）}\\{-\frac{7\sqrt{3}}{6}{t}^{2}+6\sqrt{3}t-2\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\\{\frac{5\sqrt{3}}{6}{t}^{2}-10\sqrt{3}t+30\sqrt{3}}&{（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．
点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质，多边形的面积计算等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想，学会画好图形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考压轴题．
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