Question

3．观察下面的算式，并回答问题：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，按此规律计算：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
…
（1）计算：1-$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$-…-$\frac{1}{20×21}$；
（2）$\frac{2}{1×3}$=1-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3×5}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5×7}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$，…，这里已经写出了3个等式，请你写出第20个等式$\frac{2}{39×41}=\frac{1}{39}-\frac{1}{41}$；
（3）计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$．

Answer 1

分析 （1）根据发现的规律进行计算即可；
（2）根据规律容易得出结果；
（3）根据发现的规律进行计算即可．

解答 解（1）1-$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$-…-$\frac{1}{20×21}$
=1-（1-$\frac{1}{21}$）
=$\frac{1}{21}$
（2）第20个等式为：$\frac{2}{39×41}=\frac{1}{39}-\frac{1}{41}$；
故答案为：$\frac{2}{39×41}=\frac{1}{39}-\frac{1}{41}$；
（3）：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{99}{200}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算、数字的变化类；根据发现的规律进行计算是解决问题的关键．